课程表：
为什么入度为 0 才是 BFS 拓扑排序的钥匙

把先修关系，看成有向图。

总共有 numCourses 门课程，编号从 0 到 numCourses - 1。数对 [a, b] 表示想学课程 a 必须先修完课程 b。题目问是否可能修完所有课程。

如果课程之间存在互相依赖（如 0 依赖 1，1 依赖 0），或者多门课串成一条闭环，就会出现“谁也无法先学”的死锁。这就是典型的有向图环检测。通过拓扑排序，如果能排出一个合法的先后学习线性序列，说明图是无环的（DAG）；如果排不完，说明存在环依赖。

分批消解入度，解锁新课程。

选择情形并点击“下一步”，观察各节点入度如何随着前置课程的修完逐步扣减，以及入度降为 0 后如何入队推进。

把分批学课，交给队列。

1. 01

   建图方向是 b → a

   数对 [a, b] 代表先学 b 再学 a。因此邻接表记录 b 的出边指向 a，同时 indegree[a]++ 记录 a 有一个未履行的前置。

2. 02

   只有入度减到 0 才能入队

   一门课可能有 3 个前置。修完其中一个，只是入度从 3 变成 2；只有等全部 3 个前置都修完、入度真正变为 0 时，才能放入学习队列。

3. 03

   用 learned == numCourses 判环

   如果图中有环，环上的节点由于互相等待，入度永远不可能降为 0。队列提前排空时，只要 learned < numCourses，就证明有环死锁。

入度数组与队列的紧凑配合。

这段代码来自仓库解法。使用静态邻接表建图并统计入度，队列保存当前可学课程，单循环即可完成拓扑推进与环检测。

/* 建图：b -> a，并统计入度 */
for (int i = 0; i < prerequisitesSize; i++) {
    int a = prerequisites[i][0];
    int b = prerequisites[i][1];
    graph[b][graphSize[b]] = a;
    graphSize[b]++;
    indegree[a]++;
}

/* 初始所有入度为 0 的课入队 */
int queue[MAXN], front = 0, rear = 0;
for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
    if (indegree[i] == 0) {
        queue[rear++] = i;
    }
}

int learned = 0;
while (front < rear) {
    int course = queue[front++];
    learned++;
    for (int i = 0; i < graphSize[course]; i++) {
        int next = graph[course][i];
        indegree[next]--;
        if (indegree[next] == 0) {
            queue[rear++] = next;
        }
    }
}
return learned == numCourses;

仓库中使用固定数组模拟邻接表与队列，避免动态链表分配开销。对于超稀疏或极大规模图，亦可采用链式前向星压缩存储。

原复盘里，留下的四个提醒。

这四条真实记录在当时的题目笔记中。有向图的建图方向、入度递减时机与出入队概念，极易因为概念混淆而产生 Bug。

01 先修关系的建图方向别建反

[a, b] 的含义是“先学 b 才能学 a”，边应当是 b -> a。建反会导致入度和出度的含义颠倒，永远排不出正确顺序。

02 邻接表数组追加是赋值

写代码时注意 graph[b][graphSize[b]] = a; 是单等号赋值，不要误敲成判断 ==，否则邻接边根本没有加进去。

03 队列里放的是“当前入度为 0”的课

队列绝不是用来存放所有课程的，只存放“前置要求已经被全部满足，现在立即可以修读”的课。

04 判环依据是 learned == numCourses

不要用队列是否为空来判断是否有环。队列总会变空，关键是队列变空时，真正学完的课程数 learned 是否等于总课程数。

用几种典型形态，检查边界。

从网格 BFS 到图论拓扑序。

从笔记 001 的网格 BFS，到笔记 004 的有向图拓扑排序，队列承担的核心角色是一脉相承的：每一轮只处理当前已经就绪的节点，在推进的同时顺水推舟地解锁下一轮。入度不仅是一个数字，更是依赖关系的计数器。

上述复杂度对应图论通用链表实现。仓库二维静态数组写法空间为 O(V²)。本页步进演示保留历史帧以支持回溯。